2.8.4 - Extended Binary Tree

1. 介紹

具有n個節點的二元樹，若以Link List表示，則會有n+1條NULLIinks，在這些links加上特殊節點External Nodes，其餘節點稱為Internal Nodes。

圖示:

$Internal\ Path\ Length=\sum_{i=1}^{n}L(Root \ to\ Internal\ Node_{i})$

$External\ Path\ Length=\sum_{j=0}^{n}L(Root \ to\ External\ Node_{j})$

2. Theorem

$E=I+2N$

使用數學歸納法證明:

假設左子樹內部節點數$n_{L}$、內部路徑長 $I_{L}$ 、外部路徑長 $E_{L}$；右子樹內部節點數$n_{R}$、內部路徑長 $I_{R}$ 、外部路徑長 $E_{R}$。

1. 當內部節點數$N=0$ ，此樹為空樹$E=I=0$ ，所以 $E=I+2N$ 成立。
2. 假設內部節點數為 $N-1$ 時，此定理成立。

   1. 左子樹滿足 $E_{L}=I_{L}+2n_{L}$
   2. 右子樹滿足 $E_{R}=I_{R}+2n_{R}$
3. 當內部節點數為 $N$時，

整棵樹的 $I$、 $E$ 分別為:

$I = I_{L}+I_{R}+n_{L}+n_{R}\\E=E_{L}+E_{R}+(n_{L}+1)+(n_{R}+1)$

代入2.假設:

$E=E_{L}+E_{R}+(n_{L}+1)+(n_{R}+1)\\=(I_{L}+2n_{L})+(I_{R}+2n_{R})+(n_{L}+1)+(n_{R}+1)\\=(I_{L}+I_{R}+n_{L}+n_{R})+2(n_{L}+n_{R}+1)\\ =I+2N$

3. Weighted External Path Length

$W.E.P.L=\sum_{i=0}^{n}E_{i}*q_{i}$ ( $q_{i}$ 為外部節點加權值)

使用Huffman演算法求出最小Weighted External Path Length

1. 自加權值集合中取出兩個最小的權值

2. 此兩權值和他們的和建立延伸二元樹

3. 將兩個加權值的和重新加入到集合中

4. 重複1~3直到集合中只剩一個值

圖示範例: $W=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 13\}$

1

2

3

4

5

$min\ WEPL=2*7+2*9+2*13+3*5+4*2+4*3=93$

4. 應用

有6種不同的messages(m1~m6)，其出現頻率分別為 $m_{1}=\frac{2}{39},\ m_{2}=\frac{3}{39},\ m_{3}=\frac{5}{39},\ m_{4}=\frac{7}{39},\ m_{5}=\frac{9}{39},\ m_{6}=\frac{13}{39}$ ，若希望平均解碼時間最小，則該如何編碼？

• Encoding/Decoding Tree

• 每個message的編碼內容

1. m1=1010

2. m2=1011

3. m3=100

4. m4=00

5. m5=01

6. m6=11

• 平均解碼時間＝ $\sum_{i=1}^{n}(解一個m_{i}的時間)*(m_{i}出現頻率)$
• 平均編碼位元長度＝ $\sum_{i=1}^{n}(m_{i}位元長度)*(m_{i}出現頻率)$

Optimal Prefix Code: 當對方收到訊息後，其解碼是唯一