2.5 - Heap

介紹heap、運作及其應用

1. 定義

1. 可以分為max-heap與min-heap（以max-heap為例）

2. 本身是complete binary tree（適合用array存放）

3. 所有節點的parent值都大於其children

4. root具有最大值

      40
     /  \
    20   10
   /  \
  5    9

2. 運作

2.1 Insert x in heap

1. 將x存放於最後一個節點的下一個位置

2. 往上和父點比較，若父點叫小則交換，直到root。

2.2 Delete max in heap

1. 取出root的最大值

2. 將最後一個節點刪除，並放到root中

3. 從root往下調整，直到root為最大值

2.3 Build a Heap(Top-Down)

從上到下使用insert()來建立Heap。

Time:

$\sum_{i=1}^{N} log(i) = log(n!)\simeq O(nlogn)$

2.4 Build a Heap(Bottom-Up)

1. 先將資料以Complete Binary Tree呈現

2. 從最後一個父點開始調整成Heap，直到Root

Time:

假設height= $K$ ，節點總數= $n$ ，某一節點位於第i階(level)

則調整節點最大成本為 $K-i$ ，level i最多有 $2^{i-1}$ 個節點

總成本: $\sum_{i=1}^{K}(k-i)2^{i-1} = \sum_{i=1}^{K-1}(k-i)2^{i-1}=S$

$S = (k-1)2^0+(k-2)2^1+...+2^{k-2}\\2S = \quad\quad\quad\quad＋(k-1)2^1+....+2*2^{k-2}+2^{k-1}\\2S-S=-(k-1)2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{k-1}$ $\\S=\frac{2^k-2^1}{2-1}-(k-1)\\\quad=2^k-k-1\quad(k=log_{2}(n+1))$

$S=(n+1)-log_{n}(n+1)-1$

Time = O(n)

void AdjustBottomUp(char *heap, int i, int n){
    int j = 2*i+1;     //左子點
    while(j <= n){
        if (j < n)
            if (heap[j] < heap[j+1])
                Swap(&heap[j], &heap[j+1]); 左右子點交換
        if (heap[i] > heap[j]) 
            break;
        else{
            Swap(&heap[j/2], &heap[j]); //父點與子點交換
            j=j*2+1; 
            i=(j-1)/2;
        }
    }
}

void BuildHeap(char *heap){
    int n = strlen(heap);
    for (int i = n/2-1; i>=0; i--){ //i從最後一個父點開始
        AdjustBottomUp(heap, i, n-1);
    }    
}

void Swap(char *a, char *b){
    char temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

3. 應用

1. 製作priority queue的最佳資料結構，因為insert()，delete_max()皆只需O(logn)。

2. Heap Sort