> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://garychang.gitbook.io/data-structure/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://garychang.gitbook.io/data-structure/lecture2-tree-and-binary-tree/lecture2.2-binary-tree.md). # 2.2 - Binary Tree 介紹Binary Tree的定義、基本定理及表示方法 ### 1. 定義 1. 可以為空(node=0)，若不為空則必須有Root及左右子樹 2. 左右子樹必須為Binary Tree 3. 左右子樹有方向之別 ### 2. 基本定理及證明 #### 2.1 在Binary Tree中，第 $$i$$ level中最多 $$2^{i-1}$$ 有個nodes 數學歸納法： 1. for level = 1, $$2^{1-1}=1$$個nodes 2. if level = n-1 holds, show that level = n also holds 3. for level =n , nodes of n = 2\*nodes of n-1 $$2\*2^{(i-1)-1} = 2^{i-1}$$ #### 2.2 高度 $$k$$ 的Binary Tree，最多nodes數為 $$2^k-1$$ ；最少nodes數為 $$k$$ $$ 2^{0}+2^{1}+...+2^{k-1}+2^{k} = \frac{2^{k}-2^{0}}{2-1}=2^{k}-1 $$ #### 2.3 在一個非空二元樹，若degree為０的nodes數(leaf)有 $$n\_{0}$$ ，degree為2的nodes數有 $$n\_{2}$$ ，則 $$n\_{0}=n\_{2}+1$$ 假設： $$n$$ 為nodes總數 $$n = n\_{0}+n\_{1}+n\_{2}$$ $$n\_{1}$$為degree=1的nodes數 $$B$$為branches總數(links) $$B = 0n\_{0}+1n\_{1}+2n\_{2}$$ $$ n =B+1,\newline \implies n\_{0}+n\_{1}+n\_{2}=1n\_{1}+2n\_{2}+1\newline \implies n\_{0} = n\_{2}+1 $$ ### 3. 種類 * Skewed Binary Tree 可分為：left-skewed及right-skewed binary tree ``` left right O O / \ O O / \ O O ``` * Full Binary Tree 擁有最多節點數的Binary Tree( $$2^{k}-1$$ ) * Complete Binary Tree 1. 高度為k且擁有n個節點，且滿足 $$2^{k-1}-1\n$$ 則無左子點 2. 右子點編號為 $$2i+1$$ ，若 $$2i+1>n$$ 則無右子點 3. 父點編號為 $$\[\frac{i}{2}]$$ ，若 $$\[\frac{i}{2}]<1$$ 則無父點 * Strict Binary Tree Binary Tree中每個non-leaf節點必有兩個子點，即 $$n\_{1}=0$$ ### 4. 表示方法 #### 4.1 使用Array儲存 按照full binary tree的節點編號儲存到對應的矩陣indice中 * 優點： * 容易存取左右子點及父點 * 對於full/complete binary tree沒有儲存空間浪費 * 缺點： * 節點增減較麻煩 * 對於skewed binary tree非常浪費空間 #### 4.2 使用Linklist儲存 \[point to left child]\[data]\[point to right child] * 優點： * 節點增減容易 * 對於skewed binary tree相較於array節省空間 * 缺點： * 不易存取父點 * links空間浪費約50%