2.2 - Binary Tree

介紹Binary Tree的定義、基本定理及表示方法

1. 定義

1. 可以為空(node=0)，若不為空則必須有Root及左右子樹

2. 左右子樹必須為Binary Tree

3. 左右子樹有方向之別

2. 基本定理及證明

2.1 在Binary Tree中，第 $i$ level中最多 $2^{i-1}$ 有個nodes

數學歸納法：

1. for level = 1, $2^{1-1}=1$個nodes

2. if level = n-1 holds, show that level = n also holds

3. for level =n , nodes of n = 2*nodes of n-1 $2*2^{(i-1)-1} = 2^{i-1}$

2.2 高度 $k$ 的Binary Tree，最多nodes數為 $2^k-1$ ；最少nodes數為 $k$

$$2^{0}+2^{1}+...+2^{k-1}+2^{k} = \frac{2^{k}-2^{0}}{2-1}=2^{k}-1$$

2.3 在一個非空二元樹，若degree為０的nodes數(leaf)有 $n_{0}$ ，degree為2的nodes數有 $n_{2}$ ，則 $n_{0}=n_{2}+1$

假設： $n$ 為nodes總數 $n = n_{0}+n_{1}+n_{2}$

$n_{1}$為degree=1的nodes數

$B$為branches總數(links) $B = 0n_{0}+1n_{1}+2n_{2}$

$$n =B+1,\newline \implies n_{0}+n_{1}+n_{2}=1n_{1}+2n_{2}+1\newline \implies n_{0} = n_{2}+1$$

3. 種類

• Skewed Binary Tree

可分為：left-skewed及right-skewed binary tree

left                       right
    O                      O
   /                        \
  O                          O
 /                            \
O                              O

• Full Binary Tree

擁有最多節點數的Binary Tree( $2^{k}-1$ )

• Complete Binary Tree

1. 高度為k且擁有n個節點，且滿足 $2^{k-1}-1<n≤2^{k}-1$
2. 節點編號與高度為k的Full Binary Tree的前n個節點編號一一對應

即：
         1
        / \
       2   3
      / \ / \
     4  5 6  7
    / \ /
   8  910

若complete binary tree的某個節點編號為i，則i的

1. 左子點編號為 $2i$ ，若 $2i>n$ 則無左子點
2. 右子點編號為 $2i+1$ ，若 $2i+1>n$ 則無右子點
3. 父點編號為 $[\frac{i}{2}]$ ，若 $[\frac{i}{2}]<1$ 則無父點

• Strict Binary Tree

Binary Tree中每個non-leaf節點必有兩個子點，即 $n_{1}=0$

4. 表示方法

4.1 使用Array儲存

按照full binary tree的節點編號儲存到對應的矩陣indice中

• 優點：

  • 容易存取左右子點及父點

  • 對於full/complete binary tree沒有儲存空間浪費

• 缺點：

  • 節點增減較麻煩

  • 對於skewed binary tree非常浪費空間

4.2 使用Linklist儲存

[point to left child][data][point to right child]

• 優點：

  • 節點增減容易

  • 對於skewed binary tree相較於array節省空間

• 缺點：

  • 不易存取父點

  • links空間浪費約50%