2.8.5 - AVL Tree

1. 介紹

當我們處理的資料是動態的時候(Dynamic Data)，二元搜尋樹有可能形成skewed的結構，造成Search()/Insert()/Delete()等運作的時間複雜度變為O(n)。因此引入AVL Tree來動態維持樹的高度，保持在最小的情況。

1. 對任何一節點來說，左右子樹的高度差 ≤ 1

2. 對任何一節點來說，左右子樹皆是AVL Tree

3. Node's Balance Factor: $H_{L}-H_{R}$ ，AVL Tree中任何一點的值僅會是{0、1、-1}

2. 運作

2.1 AVL Tree不平衡的情況

加入新的節點可能造成不平衡的情況:

1.LL

2.LR

3.RL

4.RR

2.2 AVL Tree不平衡的情況調整原則

1. 中間鍵值往上拉，小的放左，大的放右。

2. 若有孤兒子點/樹，依照Binary Search Tree擺到正確位置。

3. AVL Tree定理

形成高度 $H$ 的AVL Tree所需最少的節點數為 $F_{H+2}-1$ ；最多節點數為$2^H-1$

使用數學歸納法證明:

1. 高度為0時為空樹， $F_{2}-1=0$ 成立

2. 假設高度為 $H-1$ 時，此定理成立

3. 當高度為 $H$ 時，假設左子樹高度為 $H-1$ ，右子樹 $H-2$

根據2.假設，

左子樹最少節點數= $F_{(H-1)+2}-1=F_{H+1}-1$

右子樹最少節點數= $F_{(H-2)+2}-1=F_{H}-1$

所以整棵樹最少節點樹為 $=(F_{H+1}-1)+(F_{H}-1)+1\\=F_{H+1}+F_{H}-1\\=F_{H+2}-1$

4. 比較

	Array	LinkList	AVL Tree
search(x)	O(logn)	O(n)	O(logn)
search(kth)	O(1)	O(k)	O(logn)
delete(x)	O(n)	O(1)	O(logn)
delete(kth)	O(n-k)	O(k)	O(logn)
insert(x)	O(n)	O(1)	O(logn)
output in order	O(n)	O(n)	O(n)