2.8.7 - B Tree

1. B Tree of order m

是一個Balanced m-way search tree，主要用於external search/sort，滿足:

1. 2 ≤ Root's Degree ≤ m

2. 除了root和failure nodes外，其餘節點滿: $[\frac{m}{2}]≤node's\ degree≤m$

3. 所有failure nodes皆位於同一level（Balanced）

4. B tree of order 3又稱2-3 tree；B tree of order 4又稱2-3-4 tree

圖示:

• 高度h的B Tree of order m

  • 最多節點數 $=\frac{m^h-1}{m-1}$
  • 最多資料數 $=m^h-1$
  • 最少節點數: root's degree = 2，nodes' degree = $[\frac{m}{2}]$

  $1+2+2[\frac{m}{2}]+2[\frac{m}{2}]^{2}+2[\frac{m}{2}]^{3}+...+2[\frac{m}{2}]^{h-2}\\\ \ = 1+2([\frac{m}{2}]^{0}+[\frac{m}{2}]^{1}+[\frac{m}{2}]^{2}+...+[\frac{m}{2}]^{h-2})\\\ \ =1+2(\frac{[\frac{m}{2}]^{h-1}-1}{[\frac{m}{2}]-1})$

• 最少資料數

  $1+2(\frac{[\frac{m}{2}]^{h-1}-1}{[\frac{m}{2}]-1})*([\frac{m}{2}]-1)\\=2[\frac{m}{2}]^{h-1}-1$

2. 操作

2.1 Insert x in an B tree of order m

1. search(x)找到適合存放的節點

2. 檢查該節點是否overflow

   1. overflow : Data數 > m-1，作split處理，接著檢查父點

   2. 未overflow: Data數 ≤ m-1，直接放入x

2.2 Delete x in an B tree of order m

步驟流程圖:

• Rotation

• Combine