2.8.9 - Optimal Binary Search Tree

1. 介紹

給予n個內部節點加權值 $p_{i}$ 、n+1個外部節點加權值 $q_{i}$ ，在 $\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ 個不同的Binary Search Trees中，具有最小的搜尋總成本的稱為最佳化二元搜尋樹(Optimal Binary Search Tree)；可能大於一棵。

$搜尋總成本＝成功搜尋成本+失敗搜尋成本$

$成功搜尋成本=\sum_{i=1}^{n}(內部節點_{i}的level值)*p_{i}$

$失敗搜尋成本=\sum_{j=0}^{n}(外部節點_{i}的level值)*q_{i}$

其中，level值即是比較次數。

2. 使用Dynamic Programing解OBST

內部節點: $a_{i+1},\ a_{i+2},\ ..., a_{j}$ 且 $a_{i+1}<a_{i+2}<...<a_{j}$

內部節點加權值: $p_{i+1},\ p_{i+2},\ ..., p_{j}$

外部節點加權值: $q_{i},\ q_{i+1},\ ..., q_{j}$

$T_{i,j}$: 由 $a_{i+1},\ a_{i+2},\ ...,a_{j}$所組成的OBST

$C_{i,j}$: 表示$T_{i,j}$的總成本

$R_{i,j}$: 表示$T_{i,j}$的Root

$W_{i,j}$: 表示$T_{i,j}$的內、外部節點加權值總和

$T_{i,i}$代表空樹，$C_{i,j}=0$，$R_{i,j}$為NULL，$W_{i,j}=q_{i}$

從內部節點中$a_{i+1},\ a_{i+2},\ ..., a_{j}$，挑選出一個節點 $a_{k}$ 作為Root，則其左子樹有$a_{i+1},\ ..., a_{k-1}$，最佳二元搜尋數樹為 $T_{i,\ k-1}$ ；右子樹有$a_{k+1},\ ..., a_{j}$，最佳二元搜尋數樹為 $T_{k+1,\ j}$

$C_{i,j}=p_{k}+(C_{i,\ k-1}+W_{i,\ k-1})+(C_{k,\ j}+W_{k+1,\ j})\\\ \ \ \ \ \ \ =W_{i,j}+C_{i,k-1}+C_{k,j}$

$min\{C_{i, j}\}=W_{i,j}+\min_{i+1≤k≤j}\{C_{i,k-1}+C_{k,j}\}$

3. 範例

4個內部節點: $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ a_{4}$ 且 $a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}$

內部節點加權值: $(p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ p_{4})=(3,3,1,1)$

外部節點加權值: $q_{0},\ q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ q_{4}=(2,3,1,1,1)$

• 空樹（外部節點是2, 3, 1, 1, 1以此類推）

$W_{0,0}=2$	$W_{1,1}=3$	$W_{2,2}=1$	$W_{3,3}=1$	$W_{4,4}=1$
$C_{0,0}=0$	$C_{1,1}=0$	$C_{2,2}=0$	$C_{3,3}=0$	$C_{4,4}=0$
$R_{0,0}=0$	$R_{1,1}=0$	$R_{2,2}=0$	$R_{3,3}=0$	$R_{4,4}=0$

• 1個內部節點＋2個外部節點

$R_{0,1}=1，W_{0,1}=a_{1}+q_{0}+q_{1}=3+2+2=8，C_{0,1}=8$

$R_{1,2}=2，W_{1,2}=a_{2}+q_{1}+q_{2}=3+3+1=7，C_{1,2}=7$

$R_{2,3}=3，W_{2,3}=a_{3}+q_{2}+q_{3}=1+1+1=3，C_{2,3}=3$

$R_{3,4}=4，W_{3,4}=a_{4}+q_{3}+q_{4}=1+1+1=3，C_{3,4}=3$

• 2個內部節點+3個外部節點

$W_{0,2}=a_{1}+a_{2}+q_{0}+q_{1}+q_{2}=3+3+2+3+1=12\\C_{0,2}=W_{0,2}+\min_{1≤k≤2}\{C_{0,k-1}+C_{k,2}\}\\=W_{0,2}+(C_{0,0}+C_{1,2})=12+0+5=17\\R_{0,2}=1$

$W_{1,3}=a_{2}+a_{3}+q_{1}+q_{2}+q_{3}=3+1+3+1+1=9\\C_{1,3}=W_{1,3}+\min_{2≤k≤3}\{C_{1,k-1}+C_{k,3}\}\\=W_{1,3}+(C_{1,1}+C_{2,3})=9+0+3=12\\R_{1,3}=2$

$W_{2,4}=a_{3}+a_{4}+q_{2}+q_{3}+q_{4}=1+1+1+1+1=5\\C_{2,4}=W_{2,4}+\min_{3≤k≤4}\{C_{2,k-1}+C_{k,4}\}\\=W_{2,4}+(C_{2,2}+C_{3,4})=5+0+3=8\\R_{2,4}=3$

• 3個內部節點+4個外部節點

$W_{0,3}=\\a_{1}+a_{2}+a_{3}+q_{0}+q_{1}+q_{2}+q_{3}\\=3+3+1+2+3+1+1=14\\C_{0,3}=W_{0,3}+\min_{1≤k≤3}\{C_{0,k-1}+C_{k,3}\}\\=W_{0,3}+(C_{0,1}+C_{2,3})=14+8+3=25\\R_{0,3}=2$

$W_{1,4}=a_{2}+a_{3}+a_{4}+q_{1}+q_{2}+q_{3}+q_{4}\\=3+1+1+3+1+1+1=11\\C_{1,4}=W_{1,4}+\min_{2≤k≤4}\{C_{1,k-1}+C_{k,4}\}\\=W_{1,4}+(C_{1,1}+C_{2,4})=11+8=19\\R_{1,4}=2$

• 3個內部節點+4個外部節點

$W_{0,4}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+q_{0}+q_{1}+q_{2}+q_{3}+q_{4}\\=3+3+1+1+2+3+1+1+1=16\\C_{0,4}=W_{0,4}+\min_{1≤k≤4}\{C_{0,k-1}+C_{k,4}\}\\=W_{0,4}+(C_{0,1}+C_{2,4})=16+8+8=32\\R_{0,4}=2$