2.8.12 - Binomial Heap

1. Binomial Tree

1. $B_{0}$: 高度為0的Binomial Tree，只有Root一點。

2. $B_{k}$: 高度為k的Binomial Tree，是由兩棵高度為k-1的 $B_{k-1}$所組成。

圖示:

1. $B_{k}$中第$i$個level的節點數為 ${ k\choose i}$
2. $B_{k}$中第節點總數為 ${ k\choose 0}+{ k\choose 1}+...+{ k\choose k}=2^k$

2. Binomial Heap

Binomial Heap是由一組Binomial Tree所組成的Forest，且每一棵Binomial Tree必須是min-tree。(子點 ≥ 父點)

1. 若Data數為 $2^{k}$ ，則Binomial Heap只有一棵Binomial Tree
2. 若Data數為 $2^{k}-1$ ，則Binomial Heap有 $k$ 棵Binomial Tree

$n = 2^k-1=(111....111)_2,\ k=\log_2(n+1)$

3. 運作

3.1 Merge(H1, H2)

在H1, H2中，合併具有相同高度的Binomial Trees，較小的Root當成新的Root，另一棵為其子樹，合併順序無所謂，直到H1, H2中沒有相同高度的Binomial Trees。

最有有 $\log_{2}(n+1)$棵Binomial Trees要合併，時間複雜度為O(logn)。

3.2 Delete min in an Binomial Heap

1. 找到具有最小值Root的Binomial Tree, T，其餘Trees的集合為H2

2. 從T的Root取出最小值，T剩下的子樹為H1

3. Merge(H1, H2)

3.3 Insert x in an Binomial Heap

1. x自己成為一個Binomial Heap, H2

2. Merge(H1, H2)

時間複雜度: 大部分為O(1)，當Binomial Heap merge之後會變成只有一棵Binomial Tree的時候為O(logn)。