2.8.11 - Leftest Heap

合併2個Priority Queue(Heap)成一個Priority Queue時間複雜度為O(logn)，比Heap的O(n)較快。

1. 定義

x為extended binary tree的ㄧ節點。

• shortest(x): x到任一外部節點的最短路徑

$shortest(x)= \begin{cases} 0 & x \text{ is an external node}\\ 1+\min \begin{cases} shortest(x的左子點) &\\ shortest(x的左子點) &\\ \end{cases} & x \text{ is an internal odd} \end{cases}$

• Leftest Tree: 每一個內部節點的shortest(左子點) ≥ shortest(右子點)

• Leftest Heap: 是一個Leftest Tree且父點 ≤ 子點

圖示:

2. 運作

2.1 Merge(H1, H2)

1. 比較H1與H2的root大小，找出最小的root作為新的root

2. (假設H1的root較小)，H1的root作為新的root，且H1的左子樹保留成新的root的左子樹

3. Merge(H1右子樹, H2)，直到變成一棵min tree(子>父)

4. 檢查是否符合leftest heap性質(shortest(x的左子點)>shortest(x的右子點))，作違反則左右交換node。

2.2 Delete x in a leftest heap

1. 將min從root取出，得到兩個子樹H1, H2

2. Merge(H1, H2)

2.3 Insert x in a leftest tree

1. x視為H2

2. Merge(H1, H2)